Učebný cieľ kapitoly

Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali zvládnuť základné pojmy statiky:

• Hmotný bod, hmotné teleso, stupne voľnosti pohybu hmotného bodu a telesa v rovine a priestore
• Sila a silové účinky
• Silová sústava, výslednica silovej sústavy, určovanie veľkosti a polohy výslednice
• Rovnice ekvivalencie, statické podmienky rovnováhy
• Čo sú to väzby a väzbové reakcie, uvoľňovanie telies

1.1 DOKONALE TUHÉ TELESO

1.1.1 Dokonale tuhé teleso v statickej rovnováhe

Z reálnej nepohyblivej konštrukcie (napr. stožiar vn upevnený v betónovom základe a zaťažený vlastnou tiažou, tiažou vodičov a vetrom) sa vytvorí mechanický model (statický systém):

Statický systém ktorý je abstrakciou reálnej konštrukcie, nachádzajúci sa v okamžitom čase t v statickej rovnováhe, obsahuje:

• dokonale tuhé teleso (abstrakcia stožiara) s objemom V a povrchom S

• vzťažný kartézsky súradnicový systém O(x, y, z): i, j, k, sú bázové jednotkové vektory

• sily (dané pôsobením tiaže jednotlivých konštrukčných prvkov, pôsobením vetra, elektormagnetického poľa, atď. ...)

• väzby dané upevnením telesa

1.1.2 Dokonale tuhé teleso ako sústava hmotných bodov

Hmotný bod - časť hmotného telesa s elementárnym objemom dV [m3 ] a elementárnym povrchom dS [m2] s definovanou mernou hmotnosťou r [kg/m3], obsahujúci veľké množstvo elementárnych častíc hmoty. Častou geometrickou interpretáciou hmotného bodu (jeho okolia) je elementárny hranol. Hmotné body budú označené veľkými alebo malými písmenami, napr.: A, B, a, b, ...

Hmotné teleso - oblasť s objemom V a povrchom S spojito vyplnené hmotnými bodmi. Ak pre vzdialenosť dvoch ľubovoľných bodov telesa  A, B pred i po zaťažení silami platí: - teleso je nedeformovateľné, čiže dokonale tuhé - teleso sa účinkom zaťaženia deformuje, čiže poddajné teleso

V statike predpokladáme existenciu dokonale tuhého telesa, čo je len abstrakciou reálneho telesa, ktoré je vždy poddajné. V niektorých prípadoch statiky možno modelovať celé teleso jediným hmotným bodom - ťažiskom telesa, kde je sústredená tiaž celého telesa.

1.2 SILA

1.2.1 Sila a jej účinky

Sila je mierou vzájomného mechanického pôsobenia telies (alebo hmotných bodov).Označuje sa spravidla tučnými písmenami veľkej abecedy: F, P, A, ...

Silové pôsobenie:

1. bez vzájomného styku Na základe zákona akcie a reakcie sily vzájomného pôsobenia sú rovnako veľké, t.j. FAB= -FBA, resp. FSZ = -FZS. Akcia leží s reakciou na jednej nositeľke, je rovnako veľká, ale opačne orientovaná.

2. cez vzájomný styk (bodový alebo plošný)

1.2.2 Príklady vzájomného pôsobenia

- vzájomné silové (mechanické) pôsobenie izolátora a ramena stožiara

- vzájomné mechanické pôsobenie človeka a podložky

1.2.3 Klasifikácia sily

- Sila je fyzikálna veličina charakteru vektora. - Má svoje pôsobisko, veľkosť, smer a orientáciu. - Graficky sa znázorňuje ako orientovaná úsečka, ležiaca na   priamke - nositeľke sily.

1.2.4 Zákon sily, jednotka sily

- Teleso s hmotnosťou m sa účinkom sily F pohybuje   zrýchlením a. - Potom sila spôsobujúca tento pohyb   F = m.a - Newtonov zákon sily. - Vektory F a a sú rovnobežné, ležiace na spoločnej    priamke.

1.2.5 Veľkosť sily

1.2.6 Práca a výkon sily

- práca vykonaná silou veľkosti F je: A = Fs - jednotkou mechanickej práce je 1Joule,   značka [J] - prácu rovnú 1J vykoná sila veľkosti 1N na   dráhe 1m (1J =1Nm) - výkon sily je jej práca A vykonaná za určitý   čas t.   P = A/t[J/s] - jednotkou výkonu je 1Watt, značka [W] -výkon 1W predstavuje prácu 1J vykonanú za   čas 1 sekundy (1 J/s = 1 W)

1.2.7 Gravitačná sila

Na všetky hmotné telesá pôsobí graviračná sila úmerná jeho hmotnosti m[kg] a tiažovému zrýchleniu g = 9,81 m/s².

- veľkosť gravitačnej sily je G = m.g [N], a jej výslednica, ktorá smeruje do   stredu Zeme (zvislý smer) pôsobí v ťažisku telesa - na 1kg hmotnosti telesa pôsobí v gravitačnom poli Zeme gravitačná sila   G = 9,81 N. V technických výpočtoch sa táto sila často zaokrúhľuje na   G = 10 N.

1.2.8 Zložky sily v kartézskom súradnicovom systéme

Silu ako vektor možno rozložiť na zložky v smere súradnicových osi:

v priestore: Potom: F = Fx + Fy + Fz = iFx + jFy + kFz Smerové uhly sily:   a, b, g, pričom

v rovine: F = Fx + Fy = i Fx + jFy

1.2.9 Účinky sily

Pôsobenie sily na dokonalé tuhé hmotné teleso sa prejaví jeho premiestnením, ktoré možno rozdeliť na posunutie a natočenie. Ľubovoľná úsečka AB sa premiestni do polohy A´B´, pričom AB = A´B´.

Sila teda má:
- posuvný účinok - PÚ
- otáčavý účinok - OÚ
PÚ - je charakterizovaný veľkosťou sily: a je ku každému bodu telesa rovnaký.
OÚ - je charakterizovaný momentom sily:
Moment sily je vektorom, a jeho veľkosť M = |M| je k rôznym bodom telesa rôzna.

Úloha: Treba nájsť moment sily F k bodu A.
- Platí: M_A = r_A × F
- r_A je polohový vektor pôsobiska sily k počiatku súradnicového systému uloženému do bodu A.

1.2.10 Veľkosť momentu

M_A = r_A F sin a = F r_A sina = Fp_A  [Nm]
- jednotkou veľkosti momentu je 1Nm (1 Newtonmeter).
- veľkosť momentu sily k bodu je rovná súčinu veľkosti sily a ramena sily.
- kolmá vzdialenosť nositeľky sily od bodu A - p_A  [m] sa nazýva ramenom sily.

1.2.11 Smer a orientácia momentu sily

- Moment sily k bodu telesa je vektor, ktorého nositeľka je kolmá na rovinu tvorenej nositeľkou sily a polohovým vektorom    daného bodu.
- Jeho orientácia je daná jednotkovým vektorom e, pre ktorého orientáciu platí pravidlo pravej ruky:

Moment sily je kladný, ak polohový vektor a sila tvoria pravotočivý systém (proti pohybu hodinových ručičiek). V opačnom prípade je moment sily k danému bodu záporný (v smere pohybu hodinových ručičiek).

Úloha:  Stanovte smer a orientáciu momentu sily k bodom A a B.

Moment sily k bodu A: - posunutím vektora rA do bodu o dostaneme   pravotočivý systém dvoch vektorov. - moment sily k bodu A je kladný.	Moment sily k bodu B: - posunutím vektora rB do bodu o dostaneme   ľavotočivý systém dvoch vektorov. - moment sily k bodu B je záporný.
- potom: MA = rA × F = eA MA - eA je jednotkový vektor kolmý na rovinu   tvorenú vektormi rA a F.   eA = |eA| = 1 - veľkosť momentu MA = + F rA sina - kladný moment má znamienko plus.	- potom: MB = rB × F = eB MB - eB je jednotkový vektor kolmý na rovinu   tvorenú vektormi rB a F.   eB = |eB| = 1 - veľkosť momentu MB = - F rB sinb - záporný moment má znamienko mínus.

Úloha: Určite veľkosť a znamienko momentov sily F k bodu A, B a C.
Všetky body i sila ležia v jednej rovine (bod C leží na nositeľke sily).

Všeobecne platí : Moment sily k ľubovolnému bodu ležiacemu na jej nositeľke (tam leží aj pôsobisko sily) je rovný nule (má nulový otáčavý účinok). K týmto bodom má len posuvný účinok, ktorý je rovný veľkosti sily.

Záver: Dve rovnako veľké sily, ležiace na spoločnej nositeľke a opačne orientované majú nulový silový účinok.

Úloha: Určite silové účinky dvoch rovnako veľkých opačne orientovaných síl ležiacich na paralelných nositeľkách, ktorých kolmá vzdialenosť je a.  PÚ:  F - F = 0 OÚ:  MA = Fp1A - Fp2A = F(p1A - p2A ) = - Fa          MB = - Fa = MC = MA

Záver: Posuvný účinok je nulový, otáčavý účinok je rovný súčinu veľkosti sily F a ich kolmej vzdialenosti a, pričom je ku všetkým bodom telesa rovnaký. Orientácia momentu je závislá na orientácii dvojice síl:

1.2.12 Transformácia sily

Transformáciou sily nahrádzame transformovanú silu inou silou. Ak nová sila má rovnaké účinky ako sila pôvodná, potom takáto náhrada je ekvivalentnou transformáciou sily.

Úloha: Vykonajte ekvivalentnú transformáciu sily F tak, aby jej nové pôsobisko bolo v bode A.

Účinky sily F: - posuvný účinok (PÚ): je rovný sile F - otáčavý účinok (OÚ): MA = -p AF - PÚ aj OÚ majú byť zachované aj po transformácii

Transformáciu možno vykonať pripojením silovej dvojice s nulovými účinkami do bodu A: dve rovnako veľké sily F ležiace na spoločnej nositeľke, ale opačne orientované.

Čiže :

Posuvný účinok všetkých troch síl:
Otáčavý účinok všetkých troch síl:

Záver : Silu F možno ekvivalentne transformovať do iného pôsobiska tak, že do daného bodu vložíme rovnakú silu F a moment M_A = r_A × F.

1.2.13 Posunutie sily po nositeľke

Je to špeciálna transformácia sily. Posunutím sily po jej nositeľke sa jej silové účinky nezmenia.
Dôkaz :

Posunutím sily po jej nositeľke sa jej statické účinky nemenia. Pozor: deformačné účinky sily sa zmenia, t.j., deformácia poddajného telesa je závislá aj na pôsobisku sily.

1.2.14 Rozdelenie síl

Sily delíme:

1. podľa charakteru

   1. v o n k a j š i e (vyjadrujú účinok okolitých telies a prostredia na vyšetrované teleso)

      1. zaťažujúce (akcie)

      2. väzbové reakcie (závislé od akčných síl)
         

   2. v n ú t o r n é (vyjadrujú účinok jednej časti telesa na druhú. Vznikajú vo vnútri telesa ako odozva na vonkajšie sily. Ak vnútorné sily prekročia určitú hranicu, dôjde k veľkým deformáciám alebo ku porušeniu telesa.)
      

2. podľa rozloženia

   1. s ú s t r e d e n é (sila F[N] alebo moment sily M[Nm]), sú sústredené do jedného bodu - pôsobiska
      

   2. s p o j i t o r o z l o ž e n é (V statike sa väčšinou ekvivalentne nahradzujú sústredenými silami.)

      1. plošné (napr. tlak p [N/m²])

      2. objemové (napr. vlastná tiaž g [N/m³] )

      3. čiarové (napr. vlastná tiaž na jednotku dĺžky telesa q [N/m].)

1.3 SILOVÁ SÚSTAVA

1.3.1 Rozdelenie silových sústav

Dve a viacero síl pôsobiacich na teleso sa nazýva silová sústava. Silové sústavy sa delia:

1. podľa rozloženia

   1. c e n t r á l n e -nositeľky všetkých síl sa pretínajú v jednom bode (obr. 1.29)

   2. v š e o b e c n e    r o z p t ý l e n é -nositeľky síl sa vzájomne pretínajú v rôznych bodoch

2. podľa rozmiestnenia v priestore

   1. r o v i n n é -nositeľky všetkých síl ležia v jednej rovine

   2. p r i e s t o r o v é -nositeľky síl sú rozložené v priestore

Priestorovú silovú sústavu možno transformovať na tri rovinné sústavy ležiace v rovinách kartezského súradnicového systému. Ďalej sa preto vo väčšine prípadov budeme zaoberať rovinnými sústavami síl.

1.3.2 Účinky silovej sústavy (SS)

Silová sústava má posuvný a otáčavý účinok. Majme sily F₁, F₂, ..., F_i ležiace v jednej rovine.

Posuvný účinok SS
- je daný súhrnom posuvných účinkov jednotlivých síl:

Výslednica všetkých síl R silový (vektorový) obrazec uzatvára.
Platí:

- veľkosť výslednice síl - zložky výslednice síl

Otáčavý účinok SS
- k bodu telesa je daný súhrnom otáčavých účinkov (momentov) jednotlivých síl:

Vektor výsledného momentu rovinnej silovej sústavy je kolmý na rovinu silovej sústavy a jeho veľkosť je k rôznym bodom rovinného telesa rôzna. Jeho orientácia je závislá na orientácii a veľkosti momentov jednotlivých síl.

Úloha: Vyjadrite posuvný a otáčavý účinok síl F₁ a F₂ k bodu A.

PÚ: - ku všetkým bodom ramena stožiara   je rovnaký OÚ:

1.3.3 Transformácia SS do bodu

Treba ekvivalentne transformovať silovú sústavu F₁, F₂,...,F_i do bodu A. Postupnou transformáciou jednotlivých síl a ich momentov do bodu A a ich následným vektorovým súčtom dostaneme výslednú silu R a výsledný moment M_A.

PÚ: OÚ:

1.3.4 Výslednica silovej sústavy, rovnice ekvivalencie

Výslednicu silovej sústavy dostaneme ekvivalentnou transformáciou všetkých síl do bodu, ku ktorému má silová sústava nulový otáčavý účinok. Silovú sústavu teda nahradíme len jednou silou - výslednicou silovej sústavy R. Pri hľadaní výslednice SS treba určiť jej veľkosť, smer i orientáciu ako aj jej pôsobisko. Slúžia nám na to rovnice ekvivalencie, ktoré možno slovne vyjadriť aj takto:

Posuvný a otáčavý účinok SS k ľubovolnému bodu A musí byť rovnaký ako je posuvný a otáčavý účinok výslednice R k tomu istému bodu.

Vektorový tvar rovníc ekvivalencie:

Skalárny tvar rovníc ekvivalencie:

priestorová SS

rovinná SS

1.3.5 Rovnovážna silová sústava, statické podmienky rovnováhy

Silová sústava je v statickej rovnováhe, ak jej posuvný a otáčavý účinok je rovný nule. Takáto sústava síl sa nazýva rovnovážna silová sústava. Ak na teleso (hmotný bod) pôsobí rovnovážna silová sústava, teleso (hmotný bod) sa nachádza v statickej rovnováhe. Statickú rovnováhu možno popísať statickými podmienkami rovnováhy, ktoré sú vyjadrením nulovosti posuvného a otáčavého účinku silovej sústavy so silami F₁, F₂, ..., F_i. Poznáme ich vektorový a skalárny tvar:

Vektorové rovnice rovnováhy SS:

Skalárne (zložkové) rovnice rovnováhy SS:

Rovnovážna priestorová silová sústava musí spĺňať súčasne tri silové a tri momentové podmienky rovnováhy ku zvolenému SS. V silových rovniciach rovnováhy sa sčítavajú zložky síl F_i v smere súradnicovej osi x, resp. y, resp. z. V momentových rovniciach rovnováhy sa sčítavajú zložky momentov síl točiacich okolo súradnicových osí x, resp. y , resp. z.
Ak silová sústava spĺňa statické podmienky k jednému (ľubovolne zvolenému) súradnicovému systému, potom ich spĺňa ku všetkým ostatným súradnicovým systémom.
Rovnovážna rovinná silová sústava musí spĺňať tri statické podmienky rovnováhy:

Rovnováha dvoch síl:

Rovnováha troch a viacerých síl centrálnej SS:

Rovnováha troch a viacerých síl všeobecne rozptýlenej SS:

Všeobecne rozptýlená rovnovážna silová sústava musí spĺňať všetky silové i momentové podmienky rovnováhy.

Nulovosť výslednice je len nutnou podmienkou statickej rovnováhy všeobecnej silovej sústavy. Typickým príkladom nerovnovážnej silovej sústavy s nulovou výslednicou sú dve rovnako veľké, opačne orientované sily, ležiace na paralelných nositeľkách (silová dvojica). Táto silová dvojica nespĺňa momentové podmienky rovnováhy. V priebehu ďalších kapitol budeme používať pri hľadaní rovnovážnych stavov takmer výlučne statické podmienky rovnováhy v skalárnom tvare.

1.4 VÄZBY

1.4.1 Väzby a väzbové reakcie

Objekty (telesa, hmotné body) sa spájajú navzájom väzbami. V týchto väzbách vznikajú sily a momenty síl - väzbové reakcie. Ak mechanickú sústavu (sústavu telies, bodov) tvorí niekoľko objektov, potom sú medzi nimi tzv. vnútorné väzby, a reakcie v nich sú vnútorné reakcie. Väzby, ktorými sa upevňuje sústava k nepohyblivému telesu - tzv. rámu, sú vonkajšie väzby, a reakcie v nich sú vonkajšie väzbové reakcie.

Napr.: - V bodoch A a B sú väzby vonkajšie (pripevnenie stožiara o   betónový základ) - V bodoch C, D, E, F, ... sú väzby vnútorné (medzi vodičmi a   izolátorom, izolátorom a ramenom stožiara, medzi prútmi prútovej   konštrukcie stožiara)

V smere väzbovej reakcie sa odoberá objektu možnosť pohybu (posuv, resp. natočenie). Ak väzba odoberá možnosť pohybu len na jednu stranu, hovoríme o jednostrannej väzbe. Ak sa odoberá v danom smere možnosť pohybu na obidve strany, ide o väzbu dvojstrannú.

Jednostranná väzba

Dvojstranná väzba

Veľkosť a orientácia väzbových reakcií závisí od akcií - vonkajšej silovej sústavy. Väzbové reakcie sa vo väzbách usporiadajú tak, že spolu s akciami tvoria rovnovážnu silovú sústavu. Veľkosť a orientáciu väzbových reakcií možno u tzv. staticky určitých uloženiach určiť zo statických podmienok rovnováhy. Problematikou väzieb a väzbových reakcií sa podrobnejšie zaoberá Kapitola 2 tejto učebnice.