Učebný cieľ kapitoly

Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať:

• Kedy nastáva namáhanie na čistý ťah-tlak
• Ktorá zložka výslednice vnútorných síl je nenulová
• Ako je definované normálové napätie čistého ťahu-tlaku
• Podľa akého pravidla volíme myslené rezy
• Načo určujeme priebeh osových síl a normálových napätí
• Ako sa vypočíta celkové predĺženie (skrátenie) tyče
• Ako zohľadniť vlastnú tiaž pri výpočte vnútorných síl a celkového predĺženia
• Akým postupom treba riešiť staticky neurčité úlohy
• Ako sa dimenzujú jednoduché prútovky
• Ako sa určí posunutie styčníkov prútovky
• Ako sa riešia staticky neurčité prútovky
• Ako sa vykonáva statická analýza zložitých prútoviek
• Ako je definovaná tiažová reťazovka - predpoklady a mechanický model
• Aký priebeh má osová sila a normálové napätie po dĺžke reťazovky
• Ako sa určí celkové predĺženie reťazovky
• Ako sa vykonáva statická analýza reťazoviek symetrických a s prevýšením upevnenia jej koncov

Ak možno určiť výslednicu vnútorných síl - osovú silu zo statických podmienok rovnováhy, hovoríme o staticky určitej úlohe čistého ťahu alebo tlaku. V opačnom prípade musíme statické podmienky rovnováhy doplniť ďalšími - deformačnými podmienkami a hovoríme o staticky neurčitých úlohách. Medzi prípady namáhania prostým ťahom možno zaradiť: namáhanie vonkajšou osovou silou, vlastnou tiažou a odstredivou silou a iné.

5.1 NAMÁHANIE OSOVOU SILOU F

a) Staticky určité úlohy

Uvažujeme tyč konštatného prierezu na jednom konci pevne zachytenú a na druhom konci zaťaženú vonkajšou osovou silou F. Zaujíma nás poloha nebezpečného prierezu tyče a celková deformácia tyče. Na to potrebujeme určiť priebeh výslednice vnútorných síl - osovú silu N a priebeh normálových napätí v jednotlivých myslených rezoch tyče, ako aj celkové predĺženie tyče , resp. pomerné predĺženie .

obr.5.1 Čistý ťah

Rozrežeme tyč na obr. 5.1a mysleným rezom kolmým na os tyče na dve časti. Počiatok súradnice y volíme vo voľnom konci tyče. Odrezanú časť tyče 5.1b uvedieme do statickej rovnováhy tak, že do mysleného rezu vložíme (v kladnom smere - von z rezu) výslednicu vnútorných síl N(y). Táto osová sila musí byť v rovnováhe s vonkajšími silami pôsobiacimi na odrezanú časť.

Zo statických podmienok rovnováhy síl do osi y pre odrezanú časť tyče máme:

V tomto prípade je priebeh N(y) konštatný po celej dĺžke tyče a je nakreslený na obr. 5.1c.

Z výslednice vnútorných síl možno určiť napätie (y) v jednotlivých myslených rezoch. Pri prútoch s konštatným prierezom alebo prútoch, ktorých prierez sa málo mení, sila F predlžuje tyč tak, aby sledovaný (pôvodne rovinný prierez) zostal rovinným aj po deformácii. Z podmienky zachovania rovinnosti prierezu vyplýva, že napätie má konštantnú hodnotu v každom bode prierezu (obr. 5.1c) a jeho veľkosť bude

Jeho priebeh v rezoch po dĺžke tyče je znázornený na obr. 5.1b .
Ako vidieť z priebehov (y) a N(y) (spôsob ich grafického znázorňovania je zrejmý z obr. 5.1c, d), napätie a osová sila nie je závislá od y. Ako uvidíme neskôr, situácia sa zmení, ak budeme uvažovať aj pôsobenie objemových síl - vlastnej tiaže telesa. Pre tyč podľa obr. 5.1 je nebezpečným prierezom ľubovoľný rez kolmý na os prúta.

Deformáciu tyče - jej celkové predĺženie možno určiť z definície pomerného predĺženia alebo pomocou I. Castiglianovej vety.

obr.5.2 Pomerné predĺženie

Predĺženie elementu dy (obr. 5.2) vyňatej z ťahanej tyče bude

Celkové predĺženie potom bude

Podľa I. Castiglianovej vety určíme posunutie pôsobiska sily F zo vzťahu

resp.

čo súhlasí s výsledkom získaným z definičného vzťahu pre celkové predĺženie. Priebeh napätia a celkové predĺženie tyče zaťaženej sústavou osových síl možno určiť obdobným spôsobom.

5.2 NAMÁHANIE OSOVOU SILOU F PRI SPOLUPÔSOBENÍ VLASTNEJ TIAŽE TYČE

Uvažujeme tyč vo zvislej polohe, ktorej rozmery a v ich dôsledku vlastná tiaž nie je zanedbateľná voči veľkosti osovej sily F (obr. 5.3). Priebeh napätia určíme opäť metódou mysleného rezu.

obr.5.3 Vplyv vlastnej tiaže

Z podmienok rovnováhy odrezanej časti tyče (obr. 5.3b) dostaneme:

kde G(y) je vlastná tiaž odrezanej časti tyče ( je merná tiaž). V našom prípade . Potom napätie v myslenom reze je:

Priebeh (y) určíme ako priebeh rovnice priamky v intervale y(0, l).

Priebeh napätia po dĺžke tyče je znázornený na obr. 5.3c. Nebezpečný prierez sa nachádza v mieste maximálneho napätia - v mieste votknutia tyče. Aby nedošlo k porušeniu tyče v nebezpečnom priereze, musí byť splnená pevnostná podmienka

Celková energia napätosti tyče je

Po dosadení dostaneme:

potom celkové predĺženie tyče

Ten istý výsledok by sme pre celkové predĺženie dostali aj zo vzťahu

Z týchto vzťahov je zrejmé, že napätie, resp. celkové predĺženie tyče je rovné súčtu napätí, resp. predĺžení, od osovej sily a vlastnej tiaže, čo je vlastne potvrdením zákona superpozície účinkov. Staticky určité úlohy namáhania osovou silou riešime podľa postupu uvedeného v príkladoch uvedených v tejto kapitole.

5.3 DIMENZOVANIE PRÚTOVÝCH SÚSTAV

Na obr. 5.4 je znázornené rameno stožiara vysokého napätia. Konštrukčné prvky označené číslicami 1, 2, …, 11 nazývame prútmi. Prúty sú navzájom pospájané v bodoch A, B, …, G, ktoré nazývame styčníkmi. Ak predpokladáme, že prúty sú dostatočne štíhle (rozmery prierezu prúta sú malé oproti jeho dĺžke) a v styčníkoch sú pospájané v kĺboch bez trenia, možno takúto sústavu priamych prútov považovať za prútovú sústavu. Pretože ideálne kĺby bez trenia neprenášajú do prútov žiadne momenty vonkajších síl, prúty sú namáhané len osovými silami. Skutočné koštrukcie (stožiara vn, osvetľovacie veže, anténne sústavy, …) sú však spájané spravidla zváraním, skrutkovými spojmi a ideálnej prútovej sústave sa viac-menej len približujú. Toto priblíženie bude tým korektnejšie, čím sú prúty štíhlejšie a spojenie styčných bodov je menej tuhé. V opačnom prípade treba uvažovať, že konštrukcia pozostáva z nosníkov.

obr.5.4 Rameno stožiara

Pri pevnostnom a tuhostnom návrhu prútových konštrukcií nás zaujíma:

1. veľkosť osových síl v prútoch - P_i (i = 1, …, n - číslo prúta)
2. celkové predĺženie, resp. skrátenie prútov -
3. posunutie styčníkov po zaťažení prútovej sústavy

Používajú sa pritom klasické metódy statiky (styčníková, priesečná, …), ktoré sú však čoraz viac nahrádzané numerickými metódami (napr. metóda konečných prvkov). Potom nám klasické metódy slúžia na orientačnú kontrolu správnosti numerického riešenia.

Ak je prútová sústava staticky určitá, na výpočet osových síl stačia klasické vektorové metódy statiky. Pri staticky neurčitých úlohách musíme vziať do úvahy pri výpočte osových síl aj deformačné podmienky. V prípade metódy konečných prvkov do určitej miery odpadajú ťažkosti spojené s návrhom staticky neurčitej prútovej sústavy. Táto metóda riešenia však vyžaduje, aby vnútorná statická určitosť bola (prútovka a ani jej časť nesmie byť mechanizmom).

a) Jednoduché prútové sústavy

   a1) Staticky určité úlohy

Sily v jednotlivých prútoch staticky určitej prútovej sústavy určíme z rovnováhy uvoľnených styčníkov, pričom účinok prútov nahradíme osovými silami. Ak poznáme osové sily v jednotlivých prútoch, môžeme určiť predĺženia, resp. skrátenia prútov.

Priklad 1

Určite osové sily v prútoch 1 a 2, zvislé a vodorovné posunutia styčníka C prútovej sústavy (obr. 5.5) zaťaženej silou F, ak vlastnú tiaž prútov neuvažujeme.

obr.5.5 Prútovka

obr.5.6 Rovnováha styčníka

Uvoľníme styčník C a vložíme do neho v predpokladanom smere pôsobenia osové sily (tlaková sila smeruje do styčníka, ťahová sila smeruje von zo styčníka) P₁ a P₂ (obr. 5.6).
Zo statických podmienok rovnováhy dostaneme:

Osové sily vyšli so znamienkom +, preto podľa úvodného predpokladu v prúte číslo 1 je ťah a v prúte č. 2 je tlak.

Posunutie styčníka určíme z predĺženia, resp. skrátenia prútov 1 a 2. Predĺženia prútov sú:

obr.5.7 Posunutie styčníka

Na určenie pretvorenia sústavy stačí opísať kružnice z bodov A a B (obr. 5.7) s polomermi:

Keďže deformácie musia byť malé, možno kružnice nahradiť dotyčnicami kolmými na prúty nedeformovanej sústavy (obr. 5.7, 5.8).

Potom vodorovné posunutie

Zvislé posunutie vypočítame z geometrických závislostí vo zväčšenej mierke nakresleného štvoruholníka.

obr.5.8 Geometrická závislosť

Zvislé posunutie bude:

Priklad 2

Určite sily v prútoch prútovej sústavy podľa obr. 5.9, ako aj vodorovné a zvislé posunutie styčníkov C a B, ak všetky prúty zohrejeme o rovnaký teplotný rozdiel z teploty t₀ na teplotu t.

Zo statických podmienok rovnováhy uvoľnených styčníkov zistíme, že osové sily v prútoch sú nulové. (Ak zohrejeme prúty staticky určitej prútovej sústavy o rovnaký teplotný rozdiel, osové sily od teplotného zaťaženia sú rovné nule. Pre staticky neurčité prútové sústavy to však neplatí). Posunutie styčníkov je dané predĺžením jednotlivých prútov vplyvom teplotnej rozťažnosti:

Posunutie styčníka C:

Posunutie styčníka B:

pričom

obr.5.9 Posunutie styčníkov

   a2) Staticky neurčité úlohy

Jednoduché prútové sústavy, pri ktorých nemožno určiť osové sily v prútoch len zo statických podmienok rovnováhy, nazývame staticky neurčitými. V tomto prípade musíme statické podmienky rovnováhy styčníka doplniť deformačnými podmienkami (musí byť zohľadnená podmienka neporušenosti spojenia prútov v styčníkoch po deformácii). Celkový počet rovníc musí byť totožný s celkovým počtom neznámych osových síl v styčníku.

Priklad 1

Stanovte sily v prútoch sústavy podľa obr. 5.10 zaťaženej silou F.
Z podmienok rovnováhy uvoľneného styčníka (obr. 5.11) máme:

Pretože máme tri neznáme sily, musíme napísať tretiu, doplňujúcu rovnicu. Z posunutia styčníka C (obr. 5.10) vidíme, že

Dosadením za P₁ z rovnice 1. do rovnice 3. máme:

resp.

Osové sily vyšli so znamienkom +, to znamená, že pôsobia v smere zvolenom na obr.5.11. Vo všetkých troch prútoch je ťah. Pevnostná podmienka pre návrh prútov bude

kde index i označuje číslo prúta.

obr.5.10 Staticky neurčitá úloha

obr.5.11 Uvoľnený styčník

Príklad 2

Určite osové sily prútovej sústavy podľa obr. 5.12 zaťaženej silou F.

obr.5.12 Posunutie styčníka

Z rovnováhy uvoľneného C styčníka máme (obr. 5.11):

Dosadením do rovnice 1. máme:

V tejto rovnici sú dve neznáme, preto napíšeme deformačnú podmienku, ktorá vyplýva z celkových predĺžení, resp. skrátení prútov:

obr.5.13 Rovnováha styčníka

Pre posunutie styčníka C teda platí:

Odtiaľ

a po úprave

Osové sily vyšli so znamienkom +, to znamená, že pôsobia v tom zmysle, ako sme ich zakreslili na obr. 5.13. V prúte 1 je ťah, v prútoch 2 a 3 je tlak.

Príklad 3
Určite sily v prútoch prútovej sústavy podľa obr. 5.14, ak prút č. 1 bol ohriaty o teplotný rozdiel . Teplotná rozťažnosť materiálu je .

Z rovnováhy uvoľneného styčníka máme (obr. 5.13):

Z rovnice 1. dostaneme

obr.5.14 Prútová sústava

obr.5.15 Uvoľnený styčník

Na výpočet troch neznámych síl musíme podmienky rovnováhy doplniť deformačnou podmienkou. Predĺženia prútov sú:

Posunutie styčníka zistíme z tejto úvahy: Keby prút 1 bol uložený voľne v priestore, vplyvom ohriatia by sa predĺžil o hodnotu

Vo voľnej deformácii mu však bránia prúty 2 a 3. Bude v ňom pritom vznikať tlaková sila, ktorá zníži veľkosť teplotného predĺženia o hodnotu (Obr. 5.16).

obr.5.16 Skrátenie prúta

Potom

Dosadením za P₁ do rovnice 3. a po úpravách dostaneme:

Veľkosť osových síl je priamo úmerná veľkosti teplotného rozdielu. Treba upozorniť, že pri staticky neurčitých prútovkách vnikajú značné osové sily už pri relatívne malých teplotných rozdieloch .

Príklad 4
Určite sily v prútoch, ak prút č. 1 bol vyrobený o hodnotu kratší (obr. 5.17). Z obr. 5.17 je zrejmé, že spojenie prútov v spoločnom styčníku musí byť násilné. Prút č. 1 sa musí predĺžiť o hodnotu

a prúty 2 a 3 o hodnotu

obr.5.17 Vplyv výrobnej nepresnosti

Sily P₁ a P₂ = P₃ = P sú zakreslené v styčníku C a z jeho rovnováhy vyplýva (obr. 5.18):

obr.5.18 Rovnováha styčníka

Rovnice rovnováhy doplníme deformačnou podmienkou, ktorá vyplýva z obr. 5.19.

Potom

5.19 Poloha styčníka

Dosadením za P₁ a po úpravách dostaneme:

Ako vidíme, veľkosť osových síl je priamo úmerná veľkosti nepresnosti .

Poznámka: Ak je prútovka namáhaná súčasne vonkajšími silami, teplotou, prípadne aj prúty sú vyrobené nepresne, výsledné osové sily budú dané superpozíciou osových síl od jednotlivých prípadov zaťaženia.

b) Zložité prútové sústavy

  b1) Staticky určité úlohy

Rovinná prútová sústava je staticky určitá, keď i_vo = 0, i_vn = 3. Osové sily v prútoch určíme klasickými metódami statiky (styčníková, priesečná, princíp virtuálnych prác, a iné). Vzhľadom na prácnosť ich aplikácie pri prútovkách s veľkým počtom prútov, ich hlavné využitie je na kontrolu výsledkov riešenia dosiahnutých numerickými metódami, napr. metódou konečných prvkov.

Priklad 1
Pre prútovú sústavu podľa obr. 5.20 určite:

1. statickú určitosť
2. osové sily v prútoch
3. prierezy prútov tak, aby
4. posunutia styčníka C

obr.5.20 Zadanie úlohy

a) Statická určitosť
Vonkajšia statická určitosť (väzby A a B odoberajú tri stupne voľnosti) je

Vnútorná statická určitosť

prútová sústava je staticky určitá.

b) Osové sily
Na výpočet osových síl použijeme styčníkovú metódu. Pre riešenie rovnováhy styčníka A a B musíme určiť väzbové reakcie. Väzbové reakcie R_AX, R_AY a R_B musia byť v statickej rovnováhe so zaťažujúcou silou F (obr. 5.21).

Vzhľadom na symetriu úlohy

obr.5.21 Väzbové reakcie

Rovnováha styčníka B

5.22 Rovnováha styčníka B

Z dvoch rovníc o dvoch neznámych možno určiť osové sily:

V prúte 2 je ťah a v prúte 3 je tlak. Vzhľadom na symetriu úlohy možno predpokladať, že P₂ = P₁, P₃ = P₅. Silu v prúte 4 určíme z rovnováhy styčníka (obr. 5.23):

5.23 Rovnováha styčníka C

c) Prierezy prútov
Prierezy prútov určíme z pevnostnej podmienky :

d) Posunutie styčníka C
Bod C sa posunie v zvislom smere o hodnotu x_C, ktorá podľa I. Castiglianovej vety bude

pričom celková energia napätosti prútovej sústavy bude rovná súčtu energií napätosti jednotlivých prútov namáhaných čistým ťahom, resp. tlakom

Potom

Kde sú predĺženia, resp. skrátenia i-teho prúta a je parciálna derivácia osovej sily v i-tom prúte podľa sily F. E_i a S_i je modul pružnosti v ťahu, resp. prierez i-tého prúta.

Priklad 2
Rameno stožiara vysokého napätia je zaťažené tiažou vodiča F a vlastnou tiažou prútov, ktorá je rozdelená do styčníkov A, B, C, D a E (obr. 5.24). Určite osové sily v prútoch 4, 5 a 6 priesečnu metódou. Výpočet má slúžiť ako kontrola numerického riešenia.

5.24 Zadanie úlohy

Ako možno výpočtom zistiť, prútová sústava je staticky určitá. Osové sily v prútoch 4, 5 a 6 určíme tak, že rozrežeme rameno mysleným rezom na dve polovice a riešime rovnováhu odrezanej časti (obr. 5.25):

5.25 Rovnováha odrezanej časti ramena

Riešením rovníc 1 a 2 máme:

odkiaľ

b2) Staticky neurčité úlohy
Uvažujme prútovú sústavu podľa obr. 5.26. Ako vidieť, prútová sústava je tak po vonkajšej, ako aj po vnútornej stránke staticky neurčitá:

5.26 Zadanie úlohy

Prútová sústava je raz po vonkajšej stránke staticky neurčitá a raz vnútorne staticky neurčitá. Na výpočet osových síl treba doplniť statické podmienky rovnováhy dvoma deformačnými podmienkami. Obvykle sa takéto prútovky riešia Castiglianovou vetou. Najvýhodnejšie je však použiť numerické metódy, a preto sa v tomto texte nebudeme zaoberať analytickým riešením staticky neurčitých prútových sústav. Podstata pevnostného a tuhostného návrhu staticky neurčitých prútových sústav je rovnaká ako pri staticky určitých úlohách. Staticky neurčité prútové sústavy sú z hľadiska pevnosti a tuhosti často výhodnejšie konštrukcie, zložitejšia je však ich statická analýza pôvodnými analytickými metódami. Preto prevládalo v minulosti úsilie navrhovať sústavy staticky určité. S rozvojom numerických metód však tento problém odpadá.

5.4 TIAŽOVÉ PARABOLICKÉ REŤAZOVKY

5.4.1 Prijaté predpoklady a mechanický model reťazovky

Pri rozvode elektrickej energie ako aj v bežnej technickej praxi sa stretávame s prvkami namáhanými na ťah, ktorý je spôsobený najmä vlastnou tiažou. Tieto prvky ako sú napríklad vodiče napätia, nosné laná a pod., možno považovať za dokonale ohybné vlákna konštantného prierezu zaťažené vlastnou tiažou samotného vlákna, ako aj dodatočným po dĺžke vlákna rovnomerne rozloženým spojitým zaťažením q (napr. tiaž námrazy). Takéto vlákno nie je schopné prenášať ohybový moment, a bude prenášať len čistý ťah.

obr.5.27 Ťiažová reťazovka

Vlákno (reťazovka) je uchytená v bodoch A a B, ktorých rozpätie je l a prevýšenie upevnenia je h. Ak pôvodná (priama) dĺžka vlákna bola s₀, po jej zavesení vplyvom vertikálne pôsobiacej tiaže sa ustáli v deformovanom tvare s novou dĺžkou vlákna s (obr.5.27). Ak je priehyb vlákna proti rozpätiu malý, potom rozdiel medzi dĺžkou s a dĺžkou priamej spojnice bodov A a B je malý. Ak uvedený rozdiel je menší ako 10%, možno s dostatočnou presnosťou predpokladať, že tiaž vlákna, eventuálne námrazy, je rovnomerne rozložená po dĺžke priemetu vlákna do vodorovnej osi a nie po dĺžke krivky. Materiál vlákna je definovaný modulom pružnosti E, pričom dovolené namáhanie vlákna je , a prierez vlákna je S.
Na obr.5.28 je znázornený mechanický model tiažovej reťazovky. Počiatok vzťažného súradnicového systému bol zvolený v najnižšom bode reťazovky, ktorého poloha zatiaľ nie je známa.

obr.5.28 Mechanický model reťazovky

Z hľadiska elastostatiky tiažovej reťazovky treba určiť:

1. rovnicu deformovaného tvaru reťazovky y = y(x) a maximálny priehyb y_max
2. veľkosť osovej sily N = N(x) v ľubovolnom mieste xa jej maximálnu a minimálnu hodnotu
3. priebeh normálového (ťahového) napätia a jeho maximálnu a minimálnu hodnotu
4. väzbové reakcie v bodoch uchytenia A a B
5. celkové predĺženie reťazovky

5.4.2 Rovnica deformovaného tvaru reťazovky

Na obr.5.29 je znázornená vybratá časť reťazovky dvoma myslenými rezmi. Vonkajšie spojité zaťaženie (napr. vlastná tiaž) musí byť v statickej rovnováhe s vnútornými osovými silami: H je normálová osová sila v reze v najnižšom bode reťazovky, N(x) je normálová osová sila (pôsobí v smere dotyčnice k priehybovej čiare) v mieste x. Spojité zaťaženie q nahradíme výslednicou Q(x) = q.x, pôsobiacou v ťažisku vybratej časti reťazovky.

obr.5.29 Rovnováha vybratej časti reťazovky

Pre vybratú časť reťazovky možno napísať tri statické podmienky rovnováhy:

Z momentovej rovnice rovnováhy k bodu C možno určiť rovnicu priehybovej čiary reťazovky:

Čo predstavuje rovnicu paraboly. Vlákna, spĺňajúce túto rovnicu nazývame parabolické reťazovky.
V prípade známej osovej sily H možno z rovnice reťazovky určiť polohu bodov A,B a prevýšenie h:

5.4.3 Osová sila v reťazovke

Zo silových rovníc vyplýva:

Umocnením a sčítaním týchto dvoch rovníc dostaneme

Je zrejmé, že ak:

Za predpokladu b>a je N_B>N_A , a teda N_B = N_max - maximálna osová sila.
Z uvedeného vyplýva, že minimálna osová sila je v najnižšom bode reťazovky a maximálna osová sila je vo vyššom závese reťazovky.

5.4.4 Normálové napätie v reťazovke

Priebeh normálového napätia bude úmerný priebehu osových síl:

Pevnostná podmienka reťazovky má potom tvar

Splnenie tejto podmienky zaručuje dostatočnú pevnosť reťazovky po jej celej dĺžke. Dovolené napätie je obvykle predpísané normou STN.

5.4.5 Väzbové reakcie

Na obr.5.30 je uvoľnená reťazovka s väzbovými reakciami v bodoch A a B.

obr.5.30 Väzbové reakcie

Z podmienky rovnováhy do osi x vyplýva: R_Bx = R_Ax = H
Keďže väzbová reakcia v bode A musí byť v rovnováhe s osovou silou N_A, potom R_A = N_A, resp. v bode B je R_B = N_B
Potom zvislé zložky reakcií sú:

a ďalej

čím je daný sklon priehybovej čiary v závesoch A a B.

5.4.6 Celkové predĺženie reťazovky

Celkové predĺženie reťazovky bude s = s-s₀, kde s₀ je pôvodná (nedeformovaná) dĺžka vlákna, a s je nová dĺžka vlákna po jeho predĺžení od vlastnej tiaže.
Na obr.5.31 je znázornená elementárna časť deformovaného vlákna.

obr.5.31 Elementárna časť vlákna

Celková dĺžka zaťaženej reťazovky je

Použijúc zjednodušujúce pravidlo (1 + p)^a = 1 + p.a na druhý člen pod odmocninou

potom

pričom l = a + b.
Podobne, celkové predĺženie

Pretože

potom

Pôvodná dĺžka reťazovky je

5.4.7 Symetrická reťazovka

Na obr.5.32 je znázornená symetrická reťazovka (bez prevýšenia úchytných bodov,
t.j. y_B - y_A = 0).

obr.5.32 Symetrická reťazovka

Táto reťazovka je špeciálnym prípadom reťazovky s prevýšením úchytných bodov. Úpravou predtým odvodených vzťahov dostaneme nasledujúce rovnice symetrickej reťazovky:

a) rovnica priehybovej čiary

b) osová sila

c) pevnostná podmienka

d) deformovaná dĺžka reťazovky

e) celkové predĺženie reťazovky

f) počiatočná dĺžka reťazovky

Poznámka:
Pre prípad, že sú splnené predpoklady uvedené v úvode k tejto kapitoly, je potrebné použiť presné vzťahy vedúce na rovnicu vlákna typu kosínusu hyperbolického. Tieto vzťahy možno nájsť v práci: Fecko, Š. - Žiaran, J. - Varga, L.: Elektrické siete, Edičné stredisko SVŠT, Bratislava 1990.

Riešené príklady reťazovky

Príklad č.1 Symetrická reťazovka
Elektrické lano AlFe 240/39 má rozpätie l = 300m. Prierezová plocha vodiča je S = 281,6mm², menovitá hmotnosť vodiča je m = 0,9844 kg/m, čomu odpovedá spojité zaťaženie q = 9,844 N/m. Modul pružnosti lana je E = 73861 N/mm², zaručená ťahová sila je F_p = 76943 N s odpovedajúcou medzou pevnosti = F_p/S = 273,23 N/mm². Dovolené namáhanie v ťahu je = 51,79 N/mm².

Treba určiť:

a) Maximálnu osovú silu od spojitého zaťaženia q:   N_max = ?

b) Minimálnu osovú silu   N_min = H = ?

c) Maximálny priehyb lana   y_A = y_B = y_max = ?

d) Pôvodnú nedeformovanú dĺžku lana   s₀

Riešenie

a) Maximálnu osovú silu vypočítame z pevnostnej podmienky:

   Po dosadení je hraničná hodnota ťahovej sily N_max = 281,6 . 51,79 = 14584,064 N.

b) Minimálnu ťahovú silu N_min = H vypočítame zo vzťahu

   Riešením je sila H = 14509,12 N
   Z riešenia vyplýva, že ťahová sila sa po dĺžke reťazovky výrazne nemení.

c) Maximálny priehyb reťazovky

d) Pôvodná dĺžka lana

   pričom deformovaná dĺžka vodiča s = 300,5178m, a celkové predĺženie s = 0,2099m.

5.5 Príklady riešenia úloh čistého ťahu - tlaku

a) Staticky určité úlohy namáhania osovou silou
Úlohy tohto typu možno uvedenými metódami riešiť takto:

1. Zostavíme matematický a fyzikálny model riešenej úlohy na prút (tyč) zaťažený osovými silami.
2. Podľa počtu nespojitosti prierezu a zaťaženia prúta si zvolíme príslušný počet úsekov a v nich myslené rezy.
3. Do myslených rezov vložíme výslednicu vnútorných síl v kladnom zmysle (von z rezu).
4. Zo statických podmienok rovnováhy odrezanej časti tyče určíme výslednicu vnútorných síl, prípadne napätia v príslušných rezoch.
5. Nakreslíme priebeh osových síl N(x) a napätia (x) po celej dĺžke tyče.
6. Určíme nebezpečný prierez a urobíme pevnostný návrh tyče.
7. Vypočítame celkové predĺženie tyče.

Priklad 1
Ťahadlo štvorcového prierezu (obr. 5.33a) je namáhané silami F. Určite prierez prúta a jeho celkové predĺženie, keď je dané :.

Riešenie
Model ťahadla je znázornený na obr.5.33b. V ďalšom výpočte zanedbáme oslabenie prierezu ťahadla dierami pre spojovacie kolíky. Vzhľadom na nespojitosť zaťaženia treba zvoliť dva úseky na tyči (I. a II.) a v nich myslené rezy. Bod 3. uvedeného postupu je zrejmý z obr.5.33c, d. Z podmienky rovnováhy síl do smeru osi x pre osovú silu v myslených rezoch x₁ a x₂ máme:

obr.5.33 Výpočet napätia

Priebeh napätia po dĺžke tyče je znázornený na obr.5.33e. Tyč je namáhaná čistým ťahom. Nebezpečný prierez sa nachádza v mieste maximálneho napätia

teoreticky v ľubovoľnom reze z intervalu ( l/2, l ). Pevnostná podmienka je

Celkové predĺženie tyče bude rovné súčtu predĺžení jej dvoch úsekov

Z výsledného vzťahu pre vidieť, že celkové predĺženie je dané tiež súčtom predĺžení od jednotlivých zaťažujúcich síl. Ak uvážime aj vlastnú tiaž, musíme do ťažísk jednotlivých odrezaných častí vložiť objemovú silu, ktorá je úmerná objemu odrezanej časti tyče (obr. 5.28a, b).

obr.5.34 Zaťaženie vlastnou tiažou

Pre úsek I. a II. máme:

Napätie (x₁) a (x₂) sú dané súčtom napätia od zaťažujúcich síl F a vlastnej tiaže . Ich priebeh je na obr. 5.33c. Nebezpečný prierez je v mieste votknutia, kde

Prierez tyče

Pre celkové predĺženie tyče platí:

Z priebehu napätia 5.33e a 5.33c vidieť, že využitie únosnosti prierezu je efektívne len v nebezpečnom priereze. Ostatné prierezy sú využité nehospodárne. Preto treba voliť prierez tyče odstupňovaný, prispôsobený veľkosti osových síl v jednotlivých úsekoch.

Priklad 2
Riešte úlohy staticky určitého ťahu (tlaku) podľa obr. 5.35a, b, c. Určite priebeh napätia a celkové predĺženie (skrátenie) tyče. Z pevnostnej podmienky určite veľkosť nebezpečného prierezu. Úlohy riešte všeobecne postupom zhodným , aký bol použitý v príklade 1.

obr.5.35 Príklady úloh

b) Staticky neurčité úlohy namáhania osovou silou

Ak nemožno osovú silu určiť zo statických podmienok rovnováhy, úloha je staticky neurčitá. V tomto prípade treba rovnice rovnováhy doplniť deformačnými podmienkami.

Postup riešenia

1. Úlohu staticky neurčitú nahradíme úlohou staticky určitou, a to tak, že prebytočnú väzbu odstránime a nahradíme ju staticky neurčitými reakciami.
2. Podľa počtu staticky neurčitých reakcií napíšeme príslušný počet deformačných podmienok (napr. celkové predĺženie alebo skrátenie tyče je nulové) a z nich vypočítame staticky neurčité reakcie.
3. V ďalšom postupujeme ako pri úlohách staticky určitých s tým, že vypočítané staticky neurčité reakcie považujeme za ďalšie vonkajšie zaťaženie.

Riešenie takýchto úloh je uvedené v časti internetovej učebnice "Príklady".